\subsection{相似多边形}\label{subsec:czjh2-6-10}
\begin{enhancedline}

前面，我们研究了相似三角形，现在来研究相似多边形。

如果两个边数相同的多边形的对应角都相等，对应边都成比例，这两个多边形叫做\zhongdian{相似多边形}。

例如，四边形 $ABCD$ 与四边形 $A'B'C'D'$ 中（图 \ref{fig:czjh2-6-34}），
\begin{align*}
    & \angle A = \angle A' \douhao \angle B = \angle B' \douhao \\
    & \angle C = \angle C' \douhao \angle D = \angle D' \fenhao \\
    & \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{DA}{D'A'} = \exdfrac{2}{3} \juhao
\end{align*}

所以四边形 $ABCD \xiangsi$ 四边形 $A'B'C'D'$。 % 所以$\text{四边形} ABCD \xiangsi \text{四边形} A'B'C'D'$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-34}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-34}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-35}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-35}
    \end{minipage}
\end{figure}

相似多边形的对应边的比叫做\zhongdian{相似比}（或\zhongdian{相似系数}）。
如图 \ref{fig:czjh2-6-35} 中的四边形 $ABCD \xiangsi A'B'C'D'$，对应边的比是 $\exdfrac{3}{2}$，
那么四边形 $ABCD$ 和 $A'B'C'D'$ 的相似比是 $k_1 = \exdfrac{3}{2}$，
  而四边形 $A'B'C'D'$ 和 $ABCD$ 的相似比是 $k_2 = \exdfrac{2}{3}$。

现在，我们来研究相似多边形的性质。

我们知道，过多边形的一个顶点的对角线有 $n - 3$ 条，它将多边形分成 $n - 2$ 个三角形，
由于我们已经学过相似三角形的性质，因此，我们先研究两个相似多边形的对应对角线的性质，
然后再利用相似三角形来研究相似多边形。

六边形 $ABCDEF \xiangsi$ 六边形 $A'B'C'D'E'F'$ % $\text{六边形} ABCDEF \xiangsi \text{六边形} A'B'C'D'E'F'$
（图\ref{fig:czjh2-6-36}），相似比为 $k$。
$AC$ 与 $A'C'$， $AD$ 与 $A'D'$， $AE$ 与 $A'E'$ 分别是对应对角线。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch6-36}
    \caption{}\label{fig:czjh2-6-36}
\end{figure}

六边形 $ABCDEF \xiangsi$ 六边形 $A'B'C'D'E'F'$

\qquad $\tuichu \left\{\begin{aligned}
    \angle B = \angle B' \\
    \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = k
\end{aligned}\right\}  \tuichu \triangle ABC \xiangsi \triangle A'B'C'$


% \begin{wrapfigure}[6]{r}{7.4cm}
%     \centering
%     \input{../pic/czjh2-ch6-36}
%     \caption{}\label{fig:czjh2-6-36}
% \end{wrapfigure}

\qquad $\tuichu  \left\{\begin{aligned}
    & \dfrac{AC}{A'C'} = k \douhao \\
    & \angle ACB = \angle A'C'B' \juhao
\end{aligned}\right.$

由此，又可推出 $\angle ACD = \angle A'C'D'$， $\dfrac{AC}{A'C'} = \dfrac{DC}{D'C'} = k$。可得到
$$ \triangle ACD \xiangsi \triangle A'C'D'  \tuichu \dfrac{AD}{A'D'} = k \juhao $$

同理可得 $\dfrac{AE}{A'E'} = k$。

一般地，可以得到

\begin{xingzhi}
    两个相似多边形对应对角线的比等于相似比。
\end{xingzhi}

以两个相似多边形的对应顶点为顶点的两个三角形（相似多边形中的对应三角形），
它们的边或是多边形的边，或是多边形的对应对角线，所以这样的两个三角形的三边对应成比例，
它们是相似三角形。例如 $\triangle ACD \xiangsi \triangle A'C'D'$。于是有

\begin{dingli}[定理]
    相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比。
\end{dingli}

和相似三角形一样，利用等比定理可得：

\begin{dingli}[定理]
    相似多边形周长的比等于相似比。
\end{dingli}

我们知道，经过 $n$ 边形的任何一个顶点的 $n-3$ 条对角线，将多边形分成 $n-2$ 个环绕着这个顶点按顺序排列的三角形。
两个相似 $n$ 边形分别被这样一组对应对角线分成的对应三角形分别相似。由等比定理可得：

\begin{dingli}[定理]
    相似多边形的面积比等于相似比的平方。
\end{dingli}


\liti 四边形 $ABCD \xiangsi$ 四边形 $A'B'C'D'$，
它们的对角线分别交于点 $O$、$O'$（图 \ref{fig:czjh2-6-37}）。
求证： $\triangle OAB \xiangsi \triangle O'A'B'$。

\zhengming 四边形 $ABCD \xiangsi$ 四边形 $A'B'C'D'$

\qquad $\tuichu \left\{\begin{aligned}
    \triangle ABD \xiangsi \triangle A'B'D'  \tuichu \angle 2 = \angle 4 \\
    \triangle ABC \xiangsi \triangle A'B'C'  \tuichu \angle 1 = \angle 3
\end{aligned}\right\}$

\qquad $\tuichu \triangle OAB \xiangsi \triangle O'A'B'$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-37}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-37}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch6-38}
        \caption{}\label{fig:czjh2-6-38}
    \end{minipage}
\end{figure}

\liti 如图 \ref{fig:czjh2-6-38}，已知： 四边形 $ABCD$ 及四边形 $A'B'C'D'$ 中，$\angle B = \angle B'$，
$\angle D = \angle D'$，$\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{DA}{D'A'}$。
求证： $\text{四边形} ABCD \xiangsi \text{四边形} A'B'C'D'$。

\zhengming 连结 $AC$、$A'C'$。

$\left.\begin{aligned}
    \angle B = \angle B' \\
    \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'}
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \triangle ABC \xiangsi \triangle A'B'C'  \tuichu \left\{\begin{aligned}
    \angle 1 = \angle 1' \douhao \\
    \angle 2 = \angle 2' \juhao
\end{aligned}\right.$

同理 $\triangle ADC \xiangsi \triangle A'D'C'  \tuichu \left\{\begin{aligned}
    \angle 3 = \angle 3' \douhao \\
    \angle 4 = \angle 4' \juhao
\end{aligned}\right.$

$\left.\begin{aligned}
    \left.\begin{aligned}
        \angle 1 = \angle 1' \\
        \angle 3 = \angle 3' \\
    \end{aligned}\right\} \tuichu \angle BAD = \angle B'A'D' \\
    \angle B = \angle B' \\
    \left.\begin{aligned}
        \angle 2 = \angle 2' \\
        \angle 4 = \angle 4' \\
    \end{aligned}\right\} \tuichu \angle BCD = \angle B'C'D' \\
    \angle D = \angle D' \\
    \dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CD}{C'D'} = \dfrac{DA}{D'A'}
\end{aligned}\right\}  \tuichu  \text{四边形} ABCD \xiangsi \text{四边形} A'B'C'D' \juhao$



\begin{lianxi}

\xiaoti{在下表的空白处填入合适的数值：\\
    \begin{tblr}{hlines, vlines,
        columns={mode=math,3em,c},
        column{1}={mode=text,9em,l},
        rowsep=.3em
    }
        两个多边形的相似比 &  10 &  & & & & \dfrac{1}{100} \\
        它们的周长的比     &    &   & 5 & \exdfrac{1}{8} & & \\
        它们的面积的比     &    & 4  &  & & \exdfrac{1}{3} &
    \end{tblr}
}


\xiaoti{在四边形 $ABCD$ 及 $A'B'C'D'$ 中，如果 $\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$，
    $\dfrac{AB}{A'B'} = \dfrac{BC}{B'C'} = \dfrac{CD}{C'D'}$，
    那么，这两个四边形相似。
}

\end{lianxi}
\end{enhancedline}

